案例-生产工艺优化问题

案例6 生产工艺优化问题

许多企业的生产过程是一个连续的生产过程，各道工序之间有许多紧密和稳定的联系，这些生产过程是可以用数学模型来描述的。应用数学模型，人们可以优化生产过程，提高设备利用效率，提高企业的经济效益。特别是线性规划可以求解规模较大的问题，因此在生产工艺优化方面大有用武之地。

佳丽化工厂生产洗衣粉和洗涤剂。生产原料可以从市场上以每千克5元的价格买到。处理1千克原料可生产0.5千克普通洗衣粉和0.3千克普通洗涤剂。普通洗衣粉和普通洗涤剂可分别以每千克8元和12元的价格市场上出售。工厂设备每天最多可处理4吨原料，每加工1千克原料的成本为1元。为生产浓缩洗衣粉和高级洗涤剂，工厂还可以继续对普通洗衣粉和普通洗涤剂进行精加工。处理一千克普通洗衣粉可得0.5千克浓缩洗衣粉，处理1千克普通洗涤剂可得0.25千克高级洗涤剂。加工示意图见图1.2。浓缩洗衣粉的市场价格为每千克55元。每千克精加工产品的加工产品的加工成本为3元。如果产品市场和原料供应没有限制，问该工厂如何生产能使其利润最大？

     X1千克普通洗衣粉

    X2千克浓缩洗衣粉

    X3千克普通洗涤剂

    X4千克高级洗涤剂

图1.2 佳丽化工厂加工示意图

解： 设x1为普通洗衣粉的产量，x2为浓缩洗衣粉的产量，x3为普通洗涤剂的产量，x4为高级洗涤剂的产量，y1为原材料的供应量。模型的目标函数可写为：

工厂利润=8x1+12x3+24x2+55x4-3x2-3x4-(5+1)y1

目标函数的前四项是产品的销售收入，第五项、第六项是精加工成本，最后一项是原料的采购和加工成本。模型的约束主要是物流的平衡约束，例如对洗衣粉生产有如下的平衡关系：0.5y1=x1+x2/0.5,整理可得：0.5y1-x1-2x2=0;同理可得洗涤剂的平衡约束：0.3y1-x3-4x4=0。最后可得线形规划模型为：

 max 8x1+11x2+21x3+52x4-6y1